Généraliter sur les fonctions

Chapitre 1 généralité sur les fonctions.

I- notation et définition.

1) définition

Soit D une partie de R (on notera R pour l’ensemble des réels). On définie une fonction F sur D lorsque a tous réel X de D on y associe un seul réel : Y est noté f(x).

2) ensemble de définition d’une fonction.

Exemple : f(x) = R
X = 1 / x

Règle 1 : zéro na pas s’inverse dans R. la fonction inverse est donc définie sur]-∞;0[U]0;+∞[.

Si la fonction f est donnée par une correspondance x  f(x) l’ensemble de définition D est l’ensemble de tous les réels pour lesquels le calcul de f(x) est possible (et la lecture graphique aussi).

Règle 2 : « les réels strictement négatifs n’ont pas de racine carrée »

G : R  R g(x) est calculable sur 3x – 1 ≥ 0 donc x ≥ 1/3.
X  √ (3x – 1) x E [1/3 ; + ∞[(le E correspond a : «appartient a»)


II- sens de variation.

1) définition.

Soit F une fonction définie sur un intervalle I. la fonction F et croissante sur I signifie que pour tout réel A ou B de I telle que si A < B alors f(A) < f(B).

Remarque :
Une fonction constante conserve l’ordre. Les image de A et B sont rangée dans le même ordre que A et B.

Exemple :
Si A >B alors 0 < A2 < B2 la fonction ‘'carrée’' x  x2.
Si A2 < B2 < 0 alors A> B elle est croissante sur [0 ; +∞[
Et la fonction carrée est décroisant sur ]- ∞ ; 0]

2) sens de variation de la fonction inverse

Les images les image f(a) et f(b) ne sont pas dans le même ordre que a et b.
La fonction est donc décroissante.

Si 0 < a <b alors 1 / a > 1 / b.
Si 0 > a > b alors 1 / a < 1 / b.

3) extremum

Dire que x est un extremum signifie que x est soit un minimum soit un maximum.

Définition :
Si pour tout x de I f(x)< f(c) on dit que f(c) est le maximum de la fonction f sur l’intervalle I.
Si pour tout x de I f(x) > f(c) on dit que f(c) est le minimum de la fonction f sur l’intervalle I.

4) majorer minorer.

La fonction sinus est bornée sur R

Définition :
La fonction f est majorer par M sur I signifie que pour tous x de I ont a f(x) < M
La fonction f est minorer par M sur I signifie que pour tous x de I ont a f(x) > M

III parité - périodicité.

1) fonction paire.

Définition
: Soit f une fonction définie sur Df. f est paire si :
- pour tous x de Df –x appartient à Df.
- f(x) = f(-x) pour tous x de l’ensemble de définition Df.

Propriété :
Une courbe paire dans un repère orthogonal admet l’axe des ordonnées comme axe de symétrie.

2) fonction impaire.

Définition :
F est impaire si pour tous x appartenant a Df -x appartient aussi a Df. et f(x) = -f(x) pour tous x de Df.

Propriété :
L’origine du repère est le centre de symétrie d’une fonction impaire.

3) fonction périodique.

Définition :
La fonction f admet la période T si pour tous x appartenant a Df f(x+T) = f(x). f sera donc une fonction périodique de période T.

(Exemple la fonction f(x) = (-1)2 )

IV opérations sur les fonctions.

1) somme, produit, quotient, inverse, produit par un réel.


Définition :
f + g est la fonction a qui a x on associe f(x) + g(x)
f x g : x  f(x) x g(x)
1/g(x) : x  1/g(x)
k g(x) : x  k g(x)

La somme de deux fonctions impaires est impaire.
Le produit de deux fonctions impaires est paire.

2) variation de la somme

Propriété 1 :
F et g on le même sens de variation sur l’intervalle I.
- si f et g sont croissante sur I alors la fonction f + g est croissante sur I.
- si f et g sont décroissante sur I alors la fonction f + g est décroissante sur I.
On ne peut conclure en général sur le sens de variation de f + g si elles n’ont pas le même sens de variation.

Propriété 2 :
Si f est croissante sur I la fonction kf est croissante si k > 0, décroissante si k < 0 et enfin constante si k = 0.
Si f est décroissante sur I la fonction kf est décroissante si k > 0, croissante si k < 0 et enfin constante si k = 0.

3) composition de fonctions.


La fonction « f suivie de g » ce note g°f. ( ‘'°’' ce prononce : rond)

Propriété 1 :
Soit f et g aillant le même sens de variation. Si f et g sont croissants f°g est croissante. Si f et g sont décroissantes f°g est croissante.

Propriété 2 :
Si f et g on t des sens de variation différents alors f°g est décroissante.

(Ps : a quoi sa sert de savoir sa. Si vous avez la fonction f(x) = 3x2 et que vous connaissez le sens de variation de la fonction v(x) = x2 et la fonction u(x) = 3x. Sachant que f(x) = v(x)°u(x) vous pouvez en déduire le sens de variation de f(x). Il en va de même pour les fonctions très complexes.)

Voila j’ai terminer ce cours